यदि x_r = cos(pi/3^r) - isin(pi/3^r) (जहाँ i | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $x_r = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$.हमें गुणनफल $P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ ज्ञात करना है।सम्मिश्र संख्याओं के गुणध

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$-i$

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(C) दिया गया है $x_r = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$.हमें गुणनफल $P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ ज्ञात करना है।सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$e^{-i	heta} = \cos 	heta - i\sin 	heta$,अतः $x_r = e^{-i\pi/3^r}$.इस प्रकार,$P = e^{-i\pi/3} \cdot e^{-i\pi/9} \cdot e^{-i\pi/27} \cdots \infty$.$P = e^{-i\pi (1/3 + 1/9 + 1/27 + \cdots \infty)}$.घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1/3$ और सार्व अनुपात $r = 1/3$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = a / (1 - r) = (1/3) / (1 - 1/3) = (1/3) / (2/3) = 1/2$.अतः,$P = e^{-i\pi(1/2)} = e^{-i\pi/2}$.यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{-i\pi/2} = \cos(\pi/2) - i\sin(\pi/2) = 0 - i(1) = -i$.

यदि $x_r = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$ (जहाँ $i = \sqrt{-1}$),तो $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

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